TÉCNICAS DE CONTEO

DEMOSTRACIÓN

CASA                 ASAC              SAAC

CAAS                 ASCA              SACA

CSAA                 ACSA              SCAA

                           ACAS

                           AASC

                           AACS

EJEMPLO

¿De cuántas maneras podemos sentar a cuatro personas en una mesa circular?

SOLUCIÓN

Como es un acomodo circular ordenado, la fórmula que aplicamos es:

P(n) = (n-1)!

P(4) = (4 – 1)! =  3! = 3x2x1 = 6

DEMOSTRACIÓN

El uno en la fórmula significa que una persona va a estar fija, es el punto de referencia para poder realizar nuestros acomodos ordenados (permutaciones). 

En este problema, el cuadro negro es nuestra persona seleccionada para permanecer fija.

                       

                           

ACTIVIDAD  3.8

1.- Determinar las siguientes permutaciones: a) 8P3, b) 6P4, c) 15P1, d) 3P3.

2.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en un sofá de 3 plazas?

3.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco de cuatro sitios disponibles?

4.- Cinco fichas rojas, 2 blancas y 3 azules se colocan en fila. Las de un color no son distinguibles entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?

5.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda sin poner restricciones?

6.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 3 mujeres en una mesa redonda sin poner restricciones?

7.- Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   (a) permitiendo repeticiones, (b) sin repeticiones y (c) si el ultimo dígito ha de ser cero y no se permiten restricciones.

8.- Determine el número de permutaciones que se pueden formar con las letras de la palabra:

 a) ATLANTA

b) PERRO

c) CUAUHTEMOC

d) FERROCARRIL

DEMOSTRACIÓN

ANA, EVA, NOE                                                     ANA, LUIS, PABLO          

ANA, EVA, LUIS                                                     EVA, NOE, LUIS

ANA, EVA, PABLO                                                 EVA, NOE, PABLO

 ANA, NOE, LUIS                                                    EVA, LUIS, PABLO

ANA, NOE, PABLO                                                 NOE, LUIS, PABLO

Como observas en la demostración, el orden no interesa, lo  importante es establecer conjuntos  diferentes en al menos un elemento. 

En total podemos formar

Total de ramos = 3 + 3+ + 1 = 7

ACTIVIDAD  3.9

1.- Calcular las siguientes combinaciones: (a) 7C4,      (b) 6C5,        (c) 4C4.

2.- ¿De cuántas maneras se puede formar con 9 personas una comisión de cinco miembros?

3.- De entre 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si: (a) todos son elegibles, (b) un físico particular ha de estar en esa comisión y (c) dos matemáticos concretos tienen prohibido pertenecer a la comisión?

4.- Con 7 consonantes y 5 vocales, ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan 4 consonantes y 3 vocales distintas? Se admiten palabras sin significado.

5.- ¿Cuántos ramilletes distintos se pueden formar con cinco flores de variedades diferentes?

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

EJEMPLO

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB, O) y en cuanto a la presión sanguínea (normal, alta o baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

ACTIVIDAD  3.10

APLICANDO EL DIAGRAMA DE ÁRBOL RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1.- Un alumno asiste a la cafetería y decide comprar un refresco y una bolsa de botanas, el encargado de la cafetería le informa que solamente le quedan cuatro sabores de refresco y tres tipos de botanas, ¿cuántas opciones de selección tiene el alumno?

2.- Una pareja de casados planea tener tres hijos, ¿cuántas opciones tienen total suponiendo que cada nacimiento sea individual?

3.- Con las cifras 2, 5, 7 se quieren formar números de dos dígitos:

a) si se permite repeticiones de cifras

b) no se permite repeticiones de cifras

4.- Una persona que llega a comer a un restaurante encuentra en el menú 3 diferentes opciones de sopa, 4 de plato fuerte y 2 de postre. ¿Cuántas maneras diferentes tiene la persona para seleccionar su comida?

5.- Un alumno debe contestar un cuestionario de cinco preguntas, cada una de las cuales tiene dos posibles respuestas verdadero o falso. ¿Cuántas posibles maneras de responder el cuestionario tiene?

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

SI UN SUCESO PUEDE OCURRIR DE m₁ FORMAS DISTINTAS, OTRO SUCESO PUEDE OCURRIR EN m₂ FORMAS DISTINTAS,…, Y ASÍ SUCESIVAMENTE; ENTONCES ESTOS SUCESOS PUEDEN OCURRIR EN EL ORDEN MENCIONADO DE  m₁ m₂ m₃ ….. MANERAS DISTINTAS.

CRITERIOS PARA LA IDENTIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO

LOS EJERCICIOS QUE INVOLUCRAN TÉCNICAS DE CONTEO COMPRENDEN LA SELECCIÓN DE ALGUNOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO DADO. LAS CONDICIONES PARTICULARES DEL EJERCICIO DETERMINARÁN QUÉ TÉCNICA ESPECÍFICA UTILIZAR, LOS SIGUIENTES CRITERIOS PUEDEN SER ÚTILES:

1.- ANALIZAR EL EJERCICIO Y DETERMINAR EL NÚMERO DE CONJUNTOS DE LOS QUE PROVIENEN LOS ELEMENTOS:

A) SI LOS ELEMENTOS PROVIENEN DE DOS O MÁS CONJUNTOS, ESTA SITUACIÓN SUGIERE EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.

B) SI LOS ELEMENTOS PROVIENEN DE UN SOLO CONJUNTO, ESTA SITUACIÓN SUGIERE EL USO DE COMBINACIONES O PERMUTACIONES.

2.- SI SE TIENE EL CASO 1B, HAY QUE DECIDIR SI SE DEBEN USAR COMBINACIONES O PERMUTACIONES.

A) SI EN LOS GRUPOS QUE SE FORMAN EL ORDEN ES IMPORTANTE, ENTONCES SE DEBEN USAR PERMUTACIONES.

B) SI EL ORDEN NO ES IMPORTANTE, SE USAN LAS COMBINACIONES.