TÉCNICAS DE CONTEO

DEMOSTRACIÓN

CASA                 ASAC              SAAC

CAAS                 ASCA              SACA

CSAA                 ACSA              SCAA

                           ACAS

                           AASC

                           AACS

EJEMPLO

¿De cuántas maneras podemos sentar a cuatro personas en una mesa circular?

SOLUCIÓN

Como es un acomodo circular ordenado, la fórmula que aplicamos es:

P(n) = (n-1)!

P(4) = (4 – 1)! =  3! = 3x2x1 = 6

DEMOSTRACIÓN

El uno en la fórmula significa que una persona va a estar fija, es el punto de referencia para poder realizar nuestros acomodos ordenados (permutaciones). 

En este problema, el cuadro negro es nuestra persona seleccionada para permanecer fija.

                       

                           

ACTIVIDAD  3.8

1.- Determinar las siguientes permutaciones: a) 8P3, b) 6P4, c) 15P1, d) 3P3.

2.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en un sofá de 3 plazas?

3.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco de cuatro sitios disponibles?

4.- Cinco fichas rojas, 2 blancas y 3 azules se colocan en fila. Las de un color no son distinguibles entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles?

5.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda sin poner restricciones?

6.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 3 mujeres en una mesa redonda sin poner restricciones?

7.- Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   (a) permitiendo repeticiones, (b) sin repeticiones y (c) si el ultimo dígito ha de ser cero y no se permiten restricciones.

8.- Determine el número de permutaciones que se pueden formar con las letras de la palabra:

 a) ATLANTA

b) PERRO

c) CUAUHTEMOC

d) FERROCARRIL

DEMOSTRACIÓN

ANA, EVA, NOE                                                     ANA, LUIS, PABLO          

ANA, EVA, LUIS                                                     EVA, NOE, LUIS

ANA, EVA, PABLO                                                 EVA, NOE, PABLO

 ANA, NOE, LUIS                                                    EVA, LUIS, PABLO

ANA, NOE, PABLO                                                 NOE, LUIS, PABLO

Como observas en la demostración, el orden no interesa, lo  importante es establecer conjuntos  diferentes en al menos un elemento. 

En total podemos formar

Total de ramos = 3 + 3+ + 1 = 7

ACTIVIDAD  3.9

1.- Calcular las siguientes combinaciones: (a) 7C4,      (b) 6C5,        (c) 4C4.

2.- ¿De cuántas maneras se puede formar con 9 personas una comisión de cinco miembros?

3.- De entre 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si: (a) todos son elegibles, (b) un físico particular ha de estar en esa comisión y (c) dos matemáticos concretos tienen prohibido pertenecer a la comisión?

4.- Con 7 consonantes y 5 vocales, ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan 4 consonantes y 3 vocales distintas? Se admiten palabras sin significado.

5.- ¿Cuántos ramilletes distintos se pueden formar con cinco flores de variedades diferentes?

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

EJEMPLO

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB, O) y en cuanto a la presión sanguínea (normal, alta o baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

ACTIVIDAD  3.10

APLICANDO EL DIAGRAMA DE ÁRBOL RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1.- Un alumno asiste a la cafetería y decide comprar un refresco y una bolsa de botanas, el encargado de la cafetería le informa que solamente le quedan cuatro sabores de refresco y tres tipos de botanas, ¿cuántas opciones de selección tiene el alumno?

2.- Una pareja de casados planea tener tres hijos, ¿cuántas opciones tienen total suponiendo que cada nacimiento sea individual?

3.- Con las cifras 2, 5, 7 se quieren formar números de dos dígitos:

a) si se permite repeticiones de cifras

b) no se permite repeticiones de cifras

4.- Una persona que llega a comer a un restaurante encuentra en el menú 3 diferentes opciones de sopa, 4 de plato fuerte y 2 de postre. ¿Cuántas maneras diferentes tiene la persona para seleccionar su comida?

5.- Un alumno debe contestar un cuestionario de cinco preguntas, cada una de las cuales tiene dos posibles respuestas verdadero o falso. ¿Cuántas posibles maneras de responder el cuestionario tiene?

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

SI UN SUCESO PUEDE OCURRIR DE m₁ FORMAS DISTINTAS, OTRO SUCESO PUEDE OCURRIR EN m₂ FORMAS DISTINTAS,…, Y ASÍ SUCESIVAMENTE; ENTONCES ESTOS SUCESOS PUEDEN OCURRIR EN EL ORDEN MENCIONADO DE  m₁ m₂ m₃ ….. MANERAS DISTINTAS.

CRITERIOS PARA LA IDENTIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO

LOS EJERCICIOS QUE INVOLUCRAN TÉCNICAS DE CONTEO COMPRENDEN LA SELECCIÓN DE ALGUNOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO DADO. LAS CONDICIONES PARTICULARES DEL EJERCICIO DETERMINARÁN QUÉ TÉCNICA ESPECÍFICA UTILIZAR, LOS SIGUIENTES CRITERIOS PUEDEN SER ÚTILES:

1.- ANALIZAR EL EJERCICIO Y DETERMINAR EL NÚMERO DE CONJUNTOS DE LOS QUE PROVIENEN LOS ELEMENTOS:

A) SI LOS ELEMENTOS PROVIENEN DE DOS O MÁS CONJUNTOS, ESTA SITUACIÓN SUGIERE EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO.

B) SI LOS ELEMENTOS PROVIENEN DE UN SOLO CONJUNTO, ESTA SITUACIÓN SUGIERE EL USO DE COMBINACIONES O PERMUTACIONES.

2.- SI SE TIENE EL CASO 1B, HAY QUE DECIDIR SI SE DEBEN USAR COMBINACIONES O PERMUTACIONES.

A) SI EN LOS GRUPOS QUE SE FORMAN EL ORDEN ES IMPORTANTE, ENTONCES SE DEBEN USAR PERMUTACIONES.

B) SI EL ORDEN NO ES IMPORTANTE, SE USAN LAS COMBINACIONES.  

DIAGRAMAS DE VENN

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de VENN son representaciones gráficas de los conjuntos, generalmente las figuras son rectángulos, círculos o elipses.

El conjunto universal (U)  está indicado por el interior de un  rectángulo

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

SIGNIFICA EL NÚMERO DE ELEMENTOS QUE TIENE UN CONJUNTO, SE REPRESENTA CON EL SÍMBOLO n(A) EL CUAL SE LEE “CARDINALIDAD DEL CONJUNTO A”

EJEMPLO

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto B = {a, b, c, d, e}?

SOLUCIÓN

n(B) = 5  ya que el conjunto B tiene cinco elementos.

ACTIVIDAD 3.6

UTILIZANDO LOS DIAGRAMAS DE VENN, CONTESTAR LAS PREGUNTAS QUE SE PRESENTAN EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:

NOTA: ANTES DE TRAZAR LOS DIAGRAMAS DE VENN ES NECESARIO ESTABLECER CUÁNTOS Y CUÁLES SERÁN LOS CONJUNTOS QUE SE PRESENTAN EN CADA PROBLEMA, A CONTINUACIÓN, LA INFORMACIÓN PROPORCIONADA LA ESCRIBIRAS COMO CARDINALIDAD EN LOS ESPACIOS CORRECTOS.

1.- En una escuela de idiomas hay 120 alumnos de los cuales 65 estudian alemán, 55 inglés, 30 estudian a la vez alemán e inglés. Aplicando el diagrama de Venn, determinar:

A) Los alumnos que sólo estudian alemán.

B) Los alumnos que sólo estudian inglés.

C) El número de alumnos que solo estudian alemán o inglés.

D) El número de alumnos que no estudian ninguno de estos idiomas.

2.- Una encuesta basada en 250 estudiantes del nivel medio superior dio lugar a la siguiente información acerca de su ingreso a los cursos de química, física y matemáticas: 101 estudian química, 163 estudian física, 163 estudian matemáticas, 35 estudian química y física, 32 estudian química y matemáticas, 70 estudian física y matemáticas, 20 estudian química, física y matemáticas.

A) ¿Cuántos estudiantes llevan química como único curso?

B) ¿Cuántos no siguen ninguno de los tres cursos?

C) ¿Cuántos estudian química y matemáticas, pero no física?

D) ¿Cuántos alumnos no siguen los cursos de química ni física?

3.-En una empresa se realiza una encuesta a sus 50 obreros y se obtienen los siguientes datos: 35 de ellos les gusta su trabajo, 27 de ellos tienen buena relación con su jefe, 15 de ellos les gusta su trabajo y tienen buena relación con su jefe.

Determinar cuántas de estas personas: no tienen buena relación con su jefe, no les gusta su trabajo, les gusta su trabajo pero no tienen buenas relaciones con el jefe, tienen buenas relaciones con el jefe pero no les gusta su trabajo, no tienen buenas relaciones con su jefe y no les gusta su trabajo.

4.-Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 317 son hombres, 316 son casados, 25 son mujeres casadas sin profesión, 72 son hombres casados sin profesión, 83 son hombres profesionistas solteros, 15 son mujeres profesionistas solteras, 125 son hombres profesionistas casados y 49 son mujeres solteras sin profesión.

¿Cuántos de los empleados son: hombres solteros sin profesión, mujeres profesionistas casadas, profesionistas?

5.- Una orquesta de 20 músicos decide formar dos grupos musicales, uno de clásica y otro de música de salón. El primer grupo lo integran 8 personas y el segundo 12 personas. Si tres de los músicos pertenecen a los dos grupos, ¿cuántos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningún grupo?

6.- En una fiesta infantil hay tres sabores de agua fresca: guayaba, naranja y tamarindo. Representa con diagramas de ven y con expresiones de conjuntos los siguientes sucesos:

a) Ningún niño consume agua de guayaba.

b) A ninguno le gustan los tres sabores disponibles.

c) Prefieren sólo agua de guayaba.

d) Prefieren agua de guayaba o de naranja, pero no de tamarindo.

7.- ¿A cuántas amas de casa se entrevistaron en una encuesta para conocer sus preferencias sobre los programas de televisión si se obtuvieron los siguientes datos:

A 19 les gusta las películas, 23 los conciertos, 17 los noticieros, 9 películas y conciertos, 6 concierto y noticieros, 4 películas y noticieros, a 3 les gustan películas, conciertos y noticieros.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

ACTIVIDAD 3.1

En tu cuaderno escribe como se lee la siguiente simbología de conjuntos:

B = {lunes, martes, miércoles, jueves}

Z = {triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono}

M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

O = {México, Brasil, Perú, Chile}

P = {x |x es un alumno de sexto H}

A = {x |x es un color del arcoíris}

B = {x |x es una materia de sexto semestre}

C = {x |x es una nota musical}

D = {y |y es un país de Europa}

ACTIVIDAD 3.2

Escribe en las dos formas de representar conjuntos, enumeración y compresión, las siguientes colecciones:

a) Planetas de nuestro sistema solar

b) Vocales

c) Continentes en nuestro planeta

d) Notas musicales

e) Colores del arco íris

f) Números del 1 al diez

g) Presidentes de México de 1970 a 2017   

SUBCONJUNTO: es una colección de elementos que pertenecen a otro conjunto.

Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se le llama conjunto potencia y se representa como 2ⁿ.

CONJUNTO VACÍO es el conjunto que no presenta elementos, se indica por { } o por el símbolo  Ø

EJEMPLO. El conjunto A = {x, y, z}, ¿cuál será el conjunto potencia del conjunto A?

SOLUCIÓN: Primero determinamos el número de subconjuntos que tendrá el conjunto A, esto se logra calculando 2ⁿ, donde n representa el número de elementos que tiene el conjunto A; en este problema el conjunto A tiene 3 elementos.

Número de subconjuntos = 2³ = 8, por lo tanto el conjunto potencia de A será

2^A = {Ø, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

Observa que el conjunto vacío (Ø) y el mismo conjunto A se consideran subconjuntos.

ACTIVIDAD  3.3  

Determina el conjunto potencia de cada uno de los siguientes conjuntos:

M = {a, b, c, d}   y  N = {a, b, c, d, e, f}